Možno ste nemali matematiku v škole nemali v obľube, no v živote sa v nejednej situácii dostávame k problémom a situáciam, na ktoré je možné aplikovať rôzne matematické modely. V konečnom dôsledku si prevedením konkrétnej úlohy na matematickú otázku uľahčíte rozhodovanie a v závere dospejete k riešeniu, ktoré je buď optimálne, alebo je k nemu blízko.

Problém nahnitého jablka

Aj keď v reklamách sú všetky obchodné reťazce za jedno, t.j. deklarujú najvyššiu možnú čerstvosť potravín, ktoré ponúkajú, obvykle sme schopní nájsť produkty ako ovocie či zelenina, ktoré ak ešte nie sú nahnité, k tomuto stavu majú blízko a takpovediac nakupujeme rizikový tovar, ktorý sa môže prirodzenými vplyvmi v krátkom čase zhenodnotiť – a tak pre nás nebude mať hodnotu. Čím viac takéhoto tovaru nakupujeme bez toho, aby sme ho skontrolovali vizuálne a hmatom, tým stúpa riziko toho, že nastane situácia, keď doma zistíme, že namiesto deviatich jabĺk sme nakúpili len osem takých, ktoré môžeme bez problémov zjesť.

Samozrejme, v okamihu, keď sa rozhodneme nakúpiť 9 jabĺk, každé z nich považujeme za „podozrivé“, a teda prirodzene vyberáme pomocou hmatu a taktiež v závislosti na vizuálnom stave tovaru. Ak by sme nekontrolovali tovar, mali by sme v podstate len dve možnosti – buď je jablko v dobrom stave, alebo ho nebudeme jesť (je zlé). Tým pádom môžeme povedať, že šanca bez prístupu k informáciam na nákup dobrého a pokazeného jablka je 50 ku 50. Tento predpoklad samozrejme vychádza z toho, že sa na pulte vyskytujú aj zlé jablká v pomere jedna k jednej s tými dobrými. Ak by sa totiž v obchode vyskytovali iba dobré jablká, mohli by sme ich vyberať aj so zatvorenými očami.

Ak šance, ktoré obvykle uvádzame v percentách, prevedieme na pravdepodobnosti, získame číslo 0,5. Najvyššia pravdepodobnosť o hodnote 1 vlastne znamená, že sa jedná o jav, ktorý určite nastane (obchod neponúka zlé jablká). Ak by bola pravdepodobnosť rovná nule, potom s určitosťou vieme povedať, že jav nenastane (obchod neponúka dobré jablká).

A teda ak sa vrátime k našim jabĺčkam, v zjednodušenom prípade, kedy nekontrolujeme tovar, zistíme, že pravdepodobnosť, aby všetky jablká boli buď dobré, alebo zlé, je presne 0,001953125. Ak to prevedieme na percentá, ide o 1,953125%, čo je dosť málo. K tomuto číslu sme dospeli jednoducho tak, že sme násoboli 0,5 číslom 0,5 deväťkrát. Násobili sme to deväťkrát preto, lebo sme sa rozhodli nakúpiť deväť jabĺk a pravdepodbnosť ich dobrého/zlého stavu nezávisí na stave iných jabĺk.

Ak by sme sa teda rozhodovali len so zavretými očami, bola by šanca na nákup jabĺk len v dobrom stave veľmi nízka. Práve z tohto dôvodu kontrolujeme tovar po vizuálnej a hmatovej stránke, tento proces nám pomáha zvýšiť pravdepodobnosť úspešnej voľby.

No aj napriek kontrole sa vám pravdepodobne stalo, že ste niekedy nakúpili taký tovar, ktorý ste neskôr vyhodili. U spomínaných jabĺk môže ísť o nahnitie zvnútra, ktoré niekedy rýchlou kontrolou neobjavíte. Povedzme teda, že ste schopní identifikovať zlé jablko s presnosťou 99% – a tu už nezáleží, či obchod ponúka presne toľko dobrých jabĺk ako tých zých. Prevedieme to na pravdepodobnosť, čo je 0,99 a pri nákupe deviatich jabĺk zrazu dostávame pravdepodobnosť nákupu ideálneho tovaru o hotnote 0,913517247. To po slovensky znamená, že ak kupujeme sériu deviatich jabĺk, zo 100 nákupov bude len 91,35% takých, kedy nekúpime žiadne závadné jablko! V takmer deviatich prípadoch bude aspoň jedno jablko pokazené.

Práve z tohto dôvodu môžete nechať nakúpený tovar skontrolovať niekomu, s kým nakupujete. Ak by ste dokázali eliminovať riziko a zvýšiť pravdepodobnosť neomylnosti na 0,995, potom by ste namiesto necelých 92 percent prípadov dostali až 95,58 takých nákupov zo 100, kedy by ste nakúpili bezchybný tovar.

Je asi jasné, že postupovať takto striktne pri nákupe jabĺk zrejme nebudete, no spomenutý príklad môžete jednoducho aplikovať na šoférovanie a konkrétne na predbiehanie, či možnosť stať sa účastníkom dopravnej nehody. Ak sa totiž v jednom mieste v rovnakom čase nachádza na cestách napríklad 50 000 automobilov, pravdepodbnosť toho, že stretnete konkrétne jedno z danej množiny je len 0,00002 (0,002%), keďže sa jedná o pomer 1 ku 49 999. To zvyšné jedno auto patrí vám. Tieto čísla samozrejme nehovoria nič o pravdepodobnosti havárie, no stanovme si riziko nehody na také, že práve jedno auto z 50 000 sa v priemere za jeden deň zúčastní dopravnej nehody s iným automobilom. Ak sa v danom priestote a čase pohybuje presne 50 000 automobilov, potom je pravdepodobnosť nehody len 0,00002. Ak vyššie uvažujeme o nehodách, kde sú účastníkmi minimálne dva automobily, potom teoreticky nedôjde ku žiadnej nehode, a to z dôvodu, že na cestách sa práve nachádza 50 000 áut. Na to, aby došlo k nehode, totiž potrebujeme 100 000 automobilov – potom sa naplní náš predpoklad spomenutý pár viet späť.

Reálne ale „priemerná“ situácia nastane iba v teórii, a teda v priebehu jedného dňa môže dôjsť k viacerým nehodám, pričom počas nasledujúcich dní môže byť premávka bezproblémová.

Aby to nebolo také jednoduché, vodiči na určitých úsekoch ciest majú tendenciu spôsobovať kolízie vo väčšej miere, ako na iných miestach. Asi už tušíte, že táto úvaha vedie k tomu, kedy ako vodič máte na výber z viacerých stratégií ohľadom výbery vhodnej trasy s cieľom eliminovať pravdepodobnosť kolízie.

Pri premávke existujú aj ďalšie faktory, medzi ktoré patrí povedzme počasie, denná hodina, predbiehanie, ročné obdobie, a iné. Je jasné, že merať pravdepodobnosť kolízie je oveľa zložitejšie, ako je tomu pri výbere jabĺk, no napríklad poisťovne majú dáta spracované do takých detailov, kedy dokážu posúdiť rizikovosť konkrétneho vodiča v závislosti od jeho/jej veku, užívaného automobilu, a iných detailov.

Pri voľbe trasy pre presun z bodu A do bodu B môžeme postupovať rôzne, napríklad si zvolíme najkratšiu vzdialenosť, taktiež môžeme uvažovať so zápchami, prípadne s prítomnosťou železničného priecestia, prechodmi pre chodcov a podobne.

Stratégie pri hrách

Pri javoch ekonomických, vzťahových (rodinných, priateľských, pracovných), či dokocna pri spomenutom šoférovaní používame stratégie. Ak sa pozrieme na šoférovanie, kde každý má za cieľ dostať sa bezpečne z bodu A do bodu B, pričom sa jedná o opakujúci sa jav (vozíme deti do školy, chodíme na nákupy, navštevujeme sa), bude evidentné, že pri šoférovaní používame stratégiu zvanú „vždy spolupracuje“. Na cestách sa musíme správať tak, aby sme neohrozovali iných, pretože tým ohrozujeme aj vlasnú bezpečnosť.

Na rozdiel od cestovania ale pri napríklad ekonomických javoch nemusí dôjsť k opakovaniu javu, a preto môže jedna strana použiť stratégiu zvanú „vždy zradí“. Ak napríklad predávate nehnuteľnosť, nemusí vás zaujímať výhodnosť obchodu z pohľadu kupujúceho – stretnete sa len minimálny počet krát, obchod prebehne iba raz, a rovnako raz prebehne aj prepis na katastri. Dokonca ak predávate viacero nehnuteľností, zvyčajte ich predávate rôznym osobám s cieľom maximalizovať zisk. Toto neberte ako návod snažiť sa oklamať kupujúcich, skôr to berte ako výstrahu pred prílišnou naivitou pri nákupe napr. nehnuteľností, jazdených automobilov, a podobne.

Povedzme napríklad, že máte vyhliadnutú nehnuteľnosť, o ktorej predávajúci tvrdí, že v nej prebehla rekonštrukcia elektrických rozvodov. Informácie sú na strane protihráča a vám ostáva len veriť predavájucemu. Ak sa na to ale pozriete z hľadiska pravdepodobnosti, množstva počiatočných overených informácií, dospejete k záveru, že začiatočné šance na pravdivosť tvrdenia sú 50 na 50. Protistrana hrá proti vám, a vy zas opačne. Máte možnosť zvoliť si naivnú stratégiu, kedy budete protistrane veriť a prípadné odhalenie klamstva nebudete považovať za dôvod k nedôvere. No zároveň máte možnosť voľby inej stratégie, a to takej, kedy budete síce ústretový, no prijímané informácie si budete chcieť overiť.

Ak sa v danom prípade pozriete na stav ističov, počet okruhov, a ak rozoberiete zásuvky, budete mať oveľa viac informácií, a pravdepodobnosť viete posunúť k jednej, t.j. k istote. Úplnú istotu mať nebudete, pretože je teoreticky možné, že káble zabudované v stenách sú z hliníka, a iba konce sú z medi. Takýto scenár je ale značne nepravdepodobný.

Pri opakovanom jave je zas pravdepodobné, že protistrana bude voliť stratégiu „Oko za oko“, alebo tzv. „Ústretové stratégie“, kedy je zabezpečené, že obe strany vždy maximalizujú svoj zisk. Preveďme to na príklad jabĺk – prečo by vám mal obchodník predávať nahnité jablká, ak vie, že viac ich v jeho/jej obchode nenakúpite? Obchodník môže dočasne zvoliť stratégiu zvanú „Vždy zradí“, no tá nie je z dlhodobého hľadiska pre opakujúce sa javy vôbec vhodná (zdroj: http://fff.truni.sk/userdata/Image/demuth_teoria_hier%20(public).pdf , strana 46). Musíte sa ale zamerať aj na typ obchodu, ktorý uzatvárate. V prípade, že nakupujete zjavne kradnutý obraz, môže protistrana postupovať tak, že vás bude chcieť obrať o peniaze a zároveň si ponechať umelecké dielo. Aj tu sa naivná stratégia javí ako nevýhodná.

Ďalším príkladom použitia dôznych stratégií je bežný trh. Niektorí zákazníci dokážu cenu zjednávať, niektorí iní zas akcepujú obchodníkom stanovenú cenu. Ako vidno, obchodník má inú stratégiu, a aj kupujúci majú svoje stratégie.

Neraz narážame na fakt, kedy obchodník volí stratégiu, kedy vždy zradí, no protistrana to neregistruje. Ako príklad poslúžia obchody A a B, oba ponúkajúce rovnaký tovar za rôzne ceny. Predpokladajme, že v obchode A nakúpite tovar o 5 percent lacnejšie oproti obchodu B. Kupujúci, teda protistrana obchodníka, nakupujú v oboch obchodoch spočiatku bez ohľadu na rozdiel cien, no ak ešte nenavštívili obchod A, predpokladajú, že obchodník v obchode B zvolil pri stanovení predajnej ceny ústretovú stratégiu. Akonáhle ale kupujúci zistí, že rovnaký tovar môže kúpiť v obchode A lacnejšie, môže zmeniť stratégiu a v obchode B prestane nakupovať, pretože sa cíti podvedený.

V reálnom svete to ale nie vždy funguje podľa tohto jednoduchého princípu a klienti často volia naivnú stratégiu, kedy ju ani s prebiehajúcimi odhaleniami zdrady u protistrany nemenia. Ako príklad môžu poslúžiť banky, v ktorých často platia zákazníci za vedenie účtu, prípadne uhrádzajú iné poplatky. Faktom ostáva, že zákazník bude platiť poplatky dovtedy, kým nezistí, že v inej banke by dostal rovnaký produkt lacnejšie, prípadne zadarmo. V tomto momente nastupuje do hry ďalšia neznáma, a tou je zotrvačnosť klienta a jeho pohodlnosť. Práve tieto faktory sú často príčinou, že zákazník aj napriek nevýhodným podmienkam pristupuje na stratégiu protistrany a dostáva sa do submisívneho stavu. V našom prípade banka je potom predátor, ktorý tzv. „hoduje“ na svojej obeti. Nesmie ju ale úplne zničiť, pretože to by znamenalo menší prospech pre banku ako predátora.

Zarážajúce na tomto správaní je to, že rovnaký postup volí množstvo ľudí aj v prípade, ak sa dostanú do kontaktu so sociopatom (viac o psychopatoch a sociopatoch na http://afinabul.blog.cz/0809/psychopat-a-sociopat), kedy sa ich protistrana snaží obrať o financie. Sociopat vie, že je jednoduchšie obrať obeť o malé sumy peňazí, ako keby mal naraz vykonať veľkú lúpež. Sami seba sa opýtajte, či sa vám zdá jednoduchšie vylákať od 10 000 ľudí sumu 10 eur, alebo či je jednoduchšie obrať jediného človeka o 100 000 eur. Navyše sociopatická osobnosť počíta s tým, že obratím obete o púhych 10 eur jej nespôsobí takú ujmu, ktorá by vyústila do pomsty (je jedno, či pod tým myslíme fyzické ublíženie, alebo trestnoprávnu dohru), čo by pri krádeži veľkej sumy hrozilo. Najťažšie prípady sociopatov sa samozrejme neštítia kradnúť veľké sumy, no v spoločnosti prevládajú deviácie menších rozmerov.

Ako vidno, hra vždy závisí na voľbe stratégie, a preto je výhodné pri opakujúcich sa javoch uplatňovať spomínané „Oko za oko“, alebo „Ústretovú stratégiu“.

Závislé pravdepodobnosti

V praxi narážame aj na zložité situácie, kedy jedna pravdepodobnosť závisí na predošlom jave, čo popíšeme na príklade tipovania zápasov a lotérií. Ak budete tipovať 9 futbalových zápasov, v ktorých je možnosť výsledku výhra domácich, výhra hosťujúcich, alebo remíza, potom nie je nutné predpokladať závislosť pravdepodobností jednotlivých zápasov. Ak ale predpokladáme, že všetkých 9 zápasov sa odohráva v jednej lige a v jednom kole, kedy tímy môžu kalkulovať s výsledkami ostatných účastníkov súťaže v rámci celkového umiestnenia v tabuľke, potom sa môžu vyskytnúť závislosti. Napríklad sa môže jednať o zvoľnenie tempa, nasadení náhradníkov, a podobne. Ešte lepšie vidno závislosti na lotériach, ako príklad poslúži hra Loto 5 z 35 a Keno10.

Pri tipovaní hry Loto 5 z 35 vyberáme 5 čísel z intervalu 1 až 35, pričom vyžrebovaných bude práve 5 čísel z tohto rozsahu. Teoreticky sa zdá, že šanca na uhádnutie jedného čísla je teda 5/35. Ak sa ale pozriete na pravdepodobnnosti tak, že sa snažíte uhádnuť dve čísla, zistíte, že:

1. Pravdepodobnosť uhádnutia jedného čísla je presne 5/35 (to je 0,1428 – teda 14,28%)
2. Pravdepodobnosť uhádnutia druhého čísla, ake sme uhádli prvé číslo je len 4/34 (to je 0,1176 – teda 11,76%).
3. Takto klesajú pravdepodobnosti až k uhádnutiu posledného čísla, kde je pravdepodobnosť 1/31 (to je 0,0322 – teda 3,22%)

Ak vynásobite všetky pravdepodobnosti medzi sebou, zistíte, že šanca na uhádnutie všetkých piatich čísel je jedna k 324 632.

Následne si spočítajte, akú výhru môžete získať pri uhádnutí piatich čísel z 5 a porovnajte to napríklad s pravdepodobnosťou výhry ôsmich čísel z ôsmich tipovaných v hre Keno10. Tá je podľa https://tipujeme.org/vypocet-pravdepodobnosti-loterie.php presne jedna k 230114,6 , čo je vyššia pravdepodobnosť oproti 1:324 632. Ak si porovnáte možnosť maximálnej výhry (dostupné na http://www.tipos.sk/Default.aspx?CatID=699), zistíte, že pri bežných jackpotoch v hre Loto 5 z 35 sa viac oplatí tipovať práve osem čísel v hre Keno10, keďže pravdepodobnosť a výhry sú na strane práve tejto hry.

Keď sme už pri tipovaní číselnýh hier, je zaujímavé aj zistenie, že rozpis nemusí byť až tak dobrá voľba, ako sa nás snažia presvedčiť niektorí predajcovia takýchto produktov (opäť sa dostávame k stratégiam). Na nemenovaných stránkach môžete naraziť na povedzme rozpis 17 čísel pre hru Loto 5 z 35, čo vám podsúva falošnú predstavu niekde v podvedomí, keďže 17 je takmer polovica z 35. Tá falošná predstava sa zakladá práve na „polovici“, pretože takmer každý tipujúci môže nepriamo nadobudnúť dojem, že často s pomocou množiny sedemnástich čísel môže uhádnuť práve všetky čísla, ktoré vyžrebujú. Celé je to postavené na myšlienke, ktorá vraví, že ak pokryjem polovicu niečoho, ostáva iba druhá polovica a z tohto potom neznalý človek usudzuje, že by mal byť úspešný v polovici prípadov. Je to ale klam.

Ak si daný problém vyjadríte matematicky, dospejete k poznaniu, že pri 17 číslach pri náhodnom výbere pokryjete všetkých 5 vyžrebovaných len v 1,9 prípadoch zo 100. V 13,19 prípadoch zo 100 dosiahnete zhodu 4 z 5 čísel a v 32 prípadoch zo 100 dosiahnete zhodu 3 čísel z 5. Dokopy teda vyhráte niečo v 47,13 percentách prípadov, no vo väčšine pôjde o minimálnu výhru. Aj pri optimálnom skrátenom rozpise by ste tipovali viac ako 100 kombinácií, a takýto rozpis vám negarantuje výhru jackpotu, ale iba aspoň jedenkrát jedno posledné poradie. Na druhej strane môžete trafiť jackpot, no tento jav nebudete mať pomocou skráteného rozpisu garantovaný – pravdepodobnosť je nižšia ako 1.

Je zrejmé, že aj tipujúci majú svoje stratégie, a vo väčšine prípadov sú to z hľadiska teórie hier naivné stratégie. Človek totiž dennodenne tipuje, a to hoci za minimum možných finančných prostriedkov, a aj napriek tomu verí, že sa zajtra šťastená otočí tým správnym smerom. Je na každom, nech posúdi, či takáto stragégia stojí za námahu. Tí, ktorým sa podrilo vyhrať jackpot, by zrejme o nevýhodnosti tejto stratégie minimálne pochybovali.

Závislé pravdepodobnosti ale nenachádzame iba v lotériach, podobne môžeme uvažovať aj o bežnom dni, kedy si občas večer hovoríme, že deň by sa vyvíjal úplne iným spôsobom, ak by sme ráno urobili niečo ináč. Najlepšie je vrátiť sa na začiatok a uvažovať o dopravnej nehode. V prípade, že k nej v priebehu dňa dôjde, človeku sa zmení program na celý deň, a to napriek tomu, že takýto jav má štatisticky nízky výskyt – je málo pravdepodobný.

Záver – a nezabudnime na čiernu labuť

O pravdepodobnostiach a stratégiach je dobré premýšľať predovšetkým z dlhodobého hľadiska, občas sa ale stane niečo nečakané, čo ale s retrospektívneho pohľadu bolo úplne logické (tzv. Čierna labuť – viac na http://www.menejstatu.sk/nassim-nicholas-taleb-cierna-labut/). Preto nie je dobré pri strategických rozhodnutiach stavať len na najpravdepodobnejších scenároch. Čo-to by vám o tom mohli povedať napríklad investori, ktorí kedysi dávno nakúpil akcie spoločností Google, Apple, či Netflix. Kto ale v roku 2008 očakával nárast akcií ArcelorMittal (MT) z dôvodu, že práve do mája tohto roku sa im darilo, mohol na obchode prerobiť. Ak sa ale pozrieme na históriu akcií tejto spoločnosti z dlhodobého hľadiska, tak aj rok 2008 bol v porovnaní s rokom 2003 spomínaná Čierna labuť (graf dostupný na: http://finance.yahoo.com/echarts?s=MT). Jednoducho ak niečo nevidíme, ešte to neznamená, že to neexistuje, alebo že daný jav nenastane. Aj pri spomínaných akciách bol totiž vývoj z retrospektívneho hľadiska logický. Ako bolo na začiatku pri probléme s jablkami načrtnuté, na rozhodovanie potrebujeme správne a aktuálne informácie. Ak sme bez informácií, výsledok našej stratégie je viac dielom náhody ako cielenej aktivity.

Väčšina bežných dní sa samozrejme odohráva podľa vopred pripraveného scenára a človek je príliš lenivý, aby na tom niečo menil. Ak sa ale budete pozerať na aktivity iných ako na ich vlastné stratégie, môžete z toho čo najviac vyťažiť, pričom to nemusí automaticky znamenať, že svoj prospech budete budovať na neprospechu iných, voči ktorým hráte.

Voči rôznym ľuďom a obchodom môžete používať rôzne stratégie s cieľom maximalizácie vášho prospechu. A informácie slúžiace k rozhodovaniu filtrujte podľa toho, čo je a čo nie je dôležité, a samozrejme pravdivosť získanej informácie si overte u ďalšieho nezávislého zdroja.

Pokiaľ máte nejakú silnú pozitívnu spomienku. Vaše fotky na plátne Vám zaručene pomôžu.